Bazı sonsuzlar diğer sonsuzlardan daha büyüktür
Sonsuz tek bir şey değildir. Sayma sayıları sonsuzdur; ama 0 ile 1 arasındaki sayılar "daha kalabalık" bir sonsuzdur — ve bu kanıtlanabilir.
1, 2, 3... diye sonsuza kadar sayabilirsin. Peki 0 ile 1 arasındaki tüm sayılar da aynı "büyüklükte" sonsuz mu?
Doğal sayıları (1, 2, 3, ...) sonsuza kadar sıralayabilirsin; bu "sayılabilir" bir sonsuzdur. Şimdi 0 ile 1 arasındaki tüm ondalık sayıları tam bir listeye dizmeye çalış.
1891'de Georg Cantor, böyle bir listenin ASLA tamamlanamayacağını gösterdi. Diyelim listeyi yaptın; Cantor yeni bir sayı kurar: birinci sayının birinci basamağını, ikinci sayının ikinci basamağını... değiştirerek. Ortaya çıkan sayı, listedeki her sayıdan en az bir basamakta farklıdır; yani listede yoktur. Liste ne olursa olsun hep birini kaçırır.
Sonuç: gerçek sayılar, doğal sayılardan kesinlikle daha büyük bir sonsuzdur. Cantor'un "köşegen argümanı" başta sert tepki gördü, ama bugün matematiğin temel taşlarından biridir — ve sonsuzun tek değil, katmanlı olduğunu kanıtlar.
Sezgi burada çöker. Matematik, "sonsuz" gibi günlük bir kelimenin içinde birbirinden farklı dünyalar olduğunu gösterir.
Kaynaklar
- Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (kosegen argumani) - Georg Cantor, 1891
- Kume kurami ve kardinalite (sayilabilir / sayilamaz sonsuz) - Matematiksel analiz
Buradan nereye?
İnsanlar binlerce yıl saydı, hesap yaptı, ticaret kurdu; ama "hiçliği" bir SAYI olarak yazmak çok sonra, görece geç gelen bir buluştu.
KeşfetYeterince güçlü her tutarlı matematik sistemi, içinde doğru olduğu hâlde o sistemde asla kanıtlanamayan ifadeler barındırır.
Keşfetİki kişi, aralarındaki tüm konuşmayı herkes duyuyorken bile kimsenin çözemeyeceği ortak bir gizli anahtar üretebilir. İnternet güvenliğinin temeli budur.
Keşfet